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潘龙须 几何体与球的切接问题初探

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潘龙须 几何体与球的切接问题初探

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  空间几何体与球有关的组合问题,内切与外接,这种特殊的位置关系在高考中出是难点,需要学生有较强的空间想象能力和感性认识。解决这类问题要认真分析图形,明确切点,接点,球心的位置。可利用画截面图,等体积法,构造几何体等方法使问题迎刃而解。
 
  一棱椎的内切,外接球问题
  类比圆的内切,外接圆的问题,可考虑构造直角三角形,利用勾股定理或射影定理求出内切球,外接球半径,也可考虑利用等体积法求出内切球r,外接球半径R。下面以正四面体的内切球,外接球为例来分享方法。
  设正四面体A-BCD,底面BCD的中心为E,外接球与内切球同心,设为O,它在正高AE上,延长AE,交球于点F.边长为a
 
  新闻
 
  二、棱柱的外接球,内切球问题
  1.正方体内切球,球与正方体的各面中心相切。所以r=新闻,
  2.正方体的外接球,球心在正方体的正中心,外接球的半径R=新闻a
  3.与正方体各棱相切的球,球与各棱中点相切,球的直径等于面对角线的长度,所以,
  R=新闻a
  4.正棱柱的外接球,球心一定在上下底面中心的连线的中点处。其体对角线的长度等于外接球的直径。也可由球心,底面中心及底面一顶点构成直角三角形来求半径。
 
  三、典例分析
  例1.边长为2的正四体的内切球和外接球的半径分别为多少?
  例2三棱锥S-ABC中,SB┴平面ABC,SB=新闻,三角形ABC是边长为的等边三角形,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为多少?
  例3。三棱柱ABC-新闻各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,新闻=120°,CA=CB=2新闻,=4,则这个球的表面积为多少?
  例4.正四棱锥顶点都在同一个球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,该球的体积为多少?
  例5.在球面上有四个点P,A,B,C,PA=PB=PC=a,且,PA,PB,PC两两互相垂直,则球的半径为多少?
  几何体的内切球与外接球问题并不可怕,只要我们能够搞清楚球与几何体的位置关系,通过画直观图或截面图,加上对空间的点,线,面,体的相对位置关系有一定想象力,然后使用一些常用的方法就可以解决问题。