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《几何画板》在立体几何解题教学中的应用
吴应林
 
  在立体几何中,有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难,甚至无从着手,这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题,可起到事半功倍的效果,引入多媒体技术后,利用《几何画板》辅助教学,可以丰富教学模式,实现过程教学,提高了生学习数学的兴趣。
  解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难,甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向,换一个角度思考,以便找到一条绕过障碍的新途径。构造性思想及其方法就是这样的一种手段。构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加,这就是常说的分形与补形,并根据题目的特征,精心构造一个相应的“模型”,把复杂问题转化为简单问题。由于实际的三维图形,总是用二维图形来表示,这就造成了学生识图、画图、用图的困难。这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系,使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。《几何画板》为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境,能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。从数学课堂教学的角度上看,其最大的优点是实现了动态教学,尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言,在立体几何的教学中,计算机辅助教学的优势得到了很好的体现和发挥。下面就谈谈我在利用《几何画板》辅助立体几何解题教学时的一些体会。
 
  一、构造三棱锥
  三棱锥是一个特殊的锥体,它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点,每一个面都可以作为三棱锥的底面。利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积,而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离。
  例1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线A1D与AC间的距离。
 
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  分析:(利用《几何画板》展示教学步骤)
  如图所示,连结A1C1 , AC1,则AC//A1C1
 
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  二、构造正方体
  正方体是最特殊的四棱柱,它的六个面都是全等的正方形,线线、线面、面面之间都有垂直或平行关系,这便提供了多姿的化繁为简的条件,以它为“模型”是最妙不过了。
  例2: 一个四面体的所有棱长都为新闻,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(  )。
  A.3π     B.4π     C.p新闻π     D. 6π
 
  分析:构造一个棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D(如图) ,连AB1,AD1,AC,CD1,CB1,B1D1,则四面体B1—ACD1为符合题意的四面体,它的外接球的直径即为正方体的对角线长。设该外接球的半径为R,则2R=AC1=,所以此正四面体外接球的表面积为S=4pR2=3p,故选A.
  例3:在四面体的四个侧面中,直角三角形最多可有(   ).
  A. 1个    B. 2个   C. 3个   D .4个
 
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  分析:构造如图所示的正方体,连B1D1、A1B、BD1 ,考察四面体B—B1D1A1 ,它的四个侧面都是直角三角形,故选D.
  例4:过正方形ABCD的顶点A作线段PA面ABCD ,若AB=PA ,求面PAB和面PCD所成二面角的大小。
 
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  分析:如图,将四棱锥P—ABCD补成正方体PQRS—ABCD ,则PQ为面PAB与面PCD的交线。由正方体性质知PD^PQ ,AP^PQ,\DPA为所求二面角的平面角,易知?DPA=45°。
 
  二、构造长方体
  长方体的六个面都是矩形,每个顶点上的三条棱两两互相垂直。利用这些性质,构造长方体,常能使很多问题得到简化。
  例5:已知ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB和AD的中点,GC^平面ABCD于C,且GC=2,求点B到平面GEF的距离。(1991年全国高考题)
 
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  分析:如图,以边长为4的正方形ABCD为底面,GC为侧棱,构造长方体。由BD//EF,得BD//面EFG ,到平面EFG的距离,转化为底面中心O到平面EFG的距离
 
  四、应用等积变换构造立几模型
  充分应用等积变换、构造、辅助解题的模型,理清思路,这是解几何难题的一种常用方法。
  例6:在四面体A-BCD中,已知AB=a,CD=b,AB与CD间的距离为h,它们所成的角为θ,求四面体的体积。
 
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  分析:(用等积变换)在平面BCD内过B点作BE∥CD,DE∥BC,BE、DE交于E点从而得平行四边形BCDE,连AE则A-BCDE为四棱锥
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  五、分割图形
  巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解,同样适当地分割图形,也可使某些立几问题趋于简单,从而为问题的顺利解决提供了方便。
  例7:如图三棱锥P—ABC中,已知PA^BC,PA=BC=l,PA、BC的公垂线段DE=h.求三棱锥P—ABC的体积。
 
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  分析:直接考虑会因条件用不上感到束手无策。如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥P—ABC为两个三棱锥P—BCD和A—BCD.则问题简捷解出。
 
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  例8 :已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为6,侧棱长为,求三棱锥B- CA1 C1的体积。
  如图:
 
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  分析:面BA1C1 、面BCA1将这个三棱柱分割为三个三棱锥。
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  以上用《几何画板》设计的不同的按纽如:
  (1)用移开、合拢、显示、隐藏按纽突出构造模型的过程,
  (2)多个按纽的组合(或系列)进行教学步骤设计,实现教师分析、板书、作图按知识点的同步教学,环环相扣,层层深入地引发学生思考,这些是传统教学难以媲美的。
  (3)利用《几何画板》实现数形结合,增强了图形的立体感和美感(立体、色彩、对称、动画等可增加图形的美感,让学生欣赏数学美,增添数学兴趣),利于学生的思维的发生、发展和充分想象,寻找问题的解决途径,进而实现学生的自主学习。
  (4)用显示、隐藏按纽来重复讲解学生不太清楚的问题,实现学生的分层次教学。
  (5)用旋转按纽,可以从多角度、全方位来观察问题,实现学生思维的全面性,这个旋转也是让学生充分感受数学美的魅力所在,进而激发学生探索数学的无穷乐趣。
  构造思想方法充分体现了“他山之石可攻玉”的哲理。用构造法来解立体几何问题,实际上是将待解决问题的条件和数量关系,显示在所构造的“模型”上,并且得到相应的解释,从而转化为所构造模型的相应问题,实现用简捷方法解决复杂问题的目标。引入多媒体技术,利用《几何画板》辅助教学,丰富了教学模式,实现了过程教学,可以提高学生学习数学的兴趣,得到满意的教学效果。