　　解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以便找到一条绕过障碍的新途径。构造性思想及其方法就是这样的一种手段。构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形，并根据题目的特征，精心构造一个相应的“模型”，把复杂问题转化为简单问题。由于实际的三维图形，总是用二维图形来表示，这就造成了学生识图、画图、用图的困难。这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。《几何画板》为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境，能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。从数学课堂教学的角度上看，其最大的优点是实现了动态教学，尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言，在立体几何的教学中，计算机辅助教学的优势得到了很好的体现和发挥。下面就谈谈我在利用《几何画板》辅助立体几何解题教学时的一些体会。

　　一、构造三棱锥

　　三棱锥是一个特殊的锥体，它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面。利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积，而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离。

　　例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线Ａ1Ｄ与AC间的距离。

　　分析：（利用《几何画板》展示教学步骤）

　　如图所示，连结A1C1 , AC1,则AC//A1C1

　　二、构造正方体

　　正方体是最特殊的四棱柱，它的六个面都是全等的正方形，线线、线面、面面之间都有垂直或平行关系，这便提供了多姿的化繁为简的条件，以它为“模型”是最妙不过了。

　　例2：一个四面体的所有棱长都为

，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）。

　　A.3π B.4π C.p

π D. 6π

　　分析：构造一个棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D（如图），连AB1,AD1,AC,CD1,CB1,B1D1,则四面体B1—ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长。设该外接球的半径为R,则2R=AC1=,所以此正四面体外接球的表面积为S=4pR2=3p,故选A.

　　例3：在四面体的四个侧面中，直角三角形最多可有（）.

　　A. 1个 B. 2个 C. 3个 D .4个

　　分析：构造如图所示的正方体，连B1D1、A1B、BD1 ,考察四面体B—B1D1A1 ,它的四个侧面都是直角三角形，故选D.

　　例4:过正方形ABCD的顶点A作线段PA面ABCD ,若AB=PA ,求面PAB和面PCD所成二面角的大小。

　　分析：如图，将四棱锥P—ABCD补成正方体PQRS—ABCD ，则PQ为面PAB与面PCD的交线。由正方体性质知PD^PQ ,AP^PQ,\DPA为所求二面角的平面角，易知？DPA=45°。

　　二、构造长方体

　　长方体的六个面都是矩形，每个顶点上的三条棱两两互相垂直。利用这些性质，构造长方体，常能使很多问题得到简化。

　　例5：已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB和AD的中点，GC^平面ABCD于C,且GC=2,求点B到平面GEF的距离。（1991年全国高考题）

　　分析：如图，以边长为4的正方形ABCD为底面，GC为侧棱，构造长方体。由BD//EF,得BD//面EFG ,到平面EFG的距离，转化为底面中心O到平面EFG的距离

　　四、应用等积变换构造立几模型

　　充分应用等积变换、构造、辅助解题的模型，理清思路，这是解几何难题的一种常用方法。

　　例6：在四面体A-BCD中，已知AB=a，CD=b，AB与CD间的距离为h，它们所成的角为θ，求四面体的体积。

　　分析：（用等积变换）在平面BCD内过B点作BE∥CD，DE∥BC，BE、DE交于E点从而得平行四边形BCDE，连AE则A-BCDE为四棱锥

　　五、分割图形

　　巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解，同样适当地分割图形，也可使某些立几问题趋于简单，从而为问题的顺利解决提供了方便。

　　例7：如图三棱锥P—ABC中，已知PA^BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线段DE=h.求三棱锥P—ABC的体积。

　　分析：直接考虑会因条件用不上感到束手无策。如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥P—ABC为两个三棱锥P—BCD和A—BCD.则问题简捷解出。

　　例8 ：已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为6，侧棱长为，求三棱锥B- CA1 C1的体积。

　　如图：

　　分析：面BA1C1 、面BCA1将这个三棱柱分割为三个三棱锥。

　　以上用《几何画板》设计的不同的按纽如：

　　（1）用移开、合拢、显示、隐藏按纽突出构造模型的过程，

　　（2）多个按纽的组合（或系列）进行教学步骤设计，实现教师分析、板书、作图按知识点的同步教学，环环相扣，层层深入地引发学生思考，这些是传统教学难以媲美的。

　　（3）利用《几何画板》实现数形结合，增强了图形的立体感和美感（立体、色彩、对称、动画等可增加图形的美感，让学生欣赏数学美，增添数学兴趣），利于学生的思维的发生、发展和充分想象，寻找问题的解决途径，进而实现学生的自主学习。

　　（4）用显示、隐藏按纽来重复讲解学生不太清楚的问题，实现学生的分层次教学。

　　（5）用旋转按纽，可以从多角度、全方位来观察问题，实现学生思维的全面性，这个旋转也是让学生充分感受数学美的魅力所在，进而激发学生探索数学的无穷乐趣。

　　构造思想方法充分体现了“他山之石可攻玉”的哲理。用构造法来解立体几何问题，实际上是将待解决问题的条件和数量关系，显示在所构造的“模型”上，并且得到相应的解释，从而转化为所构造模型的相应问题，实现用简捷方法解决复杂问题的目标。引入多媒体技术，利用《几何画板》辅助教学，丰富了教学模式，实现了过程教学，可以提高学生学习数学的兴趣，得到满意的教学效果。

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